[동역학] Ch 1.1 질점의 직선운동 - 예제 1.1

예제 1.1)

직선 위를 움직이는 질점의 위치가 $x = t^3 - 6t^2 - 15t + 40$의 식으로 정의된다. 여기에서 $x$는 미터, $t$는 초의 단위로 주어졌다. (a) 속도가 0이 되는 시간, (b) 그때 질점의 위치와 이동한 거리, (c) 그 순간 질점의 가속도, (d) $t = 4$초부터 $t = 6$초까지 질점이 이동한 거리를 각각 구하라.

 

풀이

질점의 위치에 대한 식이 주어졌기 때문에 우리는 그것을 미분하여 속도와 가속도에 대한 식을 구할 수 있다.

 

$$x = t^3 - 6t^2 - 15t + 40$$

$$v = 3t^2 - 12t - 15$$

$$a = 6t - 12$$

 

(a)

속도가 0이 되는 시간은 $v = 0$일 때의 $t$를 구하면 된다.

 

$$v = 3t^2 - 12t - 15 = 0$$

$$t = 5s$$

 

우리는 위의 2차 방정식을 풀면 두 개의 근을 구할 수 있다. 하지만 시간은 음수가 될 수 없기 때문에 양수의 해를 구하면 된다.

 

(b)

속도가 0이 될 때 질점의 위치와 이동한 거리를 구하기 위해야 한다. 속도가 0이 될 때의 시간은 5초일 때이다. 따라서 위치 식에 $t = 5$를 대입하면 된다.

 

$$x_5 = (5)^3 - 6(5)^2 - 15(5) + 40 = -60m $$

 

$t = 0$일 때의 초기 위치는 $x_0 = 40m$였다.

 

$$이동거리 = x_5 - x_0 = -60m - 40m = -100m$$

 

따라서 음의 방향으로 $-100m$만큼 이동했다.

 

(c)

속도가 0일 때의 가속도를 구하기 위해서는 가속도 식에 $t = 5$를 대입하면 된다.

 

$$a_5 = 6(5) - 12 = 18m/s^2$$

 

따라서 가속도는 $18m/s^2$이다.

 

(d)

$t = 4s$에서 $t = 6s$까지 이동한 거리를 구하기 위해서는 단순히 $x_6 - x_4$를 해서는 안 된다. 왜냐하면 중간에 속도의 방향이 바뀔 수 있기 때문이다.

실제로 여기에 나온 속도 그래프는 $t = 5s$에서 방향이 바뀌게 된다. 즉, $t = 4s$에서 $t = 5s$까지는 음의 방향으로 이동하다가, $t = 5s$에서 $t = 6s$에서는 양의 방향으로 이동한다.

따라서 우리는 이것을 고려하여 계산해야 한다.

 

$$x_5 - x_4 = -60 - (-52) = -8m$$

$$x_6 - x_5 = -50 - (-60) = 10m$$

$$\mid -8 \mid + \mid 10 \mid = 18$$

 

따라서 질점은 4초부터 5초까지는 음의 방향으로 8m, 5초부터 6초까지 양의 방향으로 10m를 이동하여 총 18m를 이동하였다. 하지만 만약 문제에서 해당 시간동한 변한 위치를 물어봤다면 양의 방향으로 2m를 움직였다고 답해야 한다.