예제 1.1)
직선 위를 움직이는 질점의 위치가 x=t3−6t2−15t+40의 식으로 정의된다. 여기에서 x는 미터, t는 초의 단위로 주어졌다. (a) 속도가 0이 되는 시간, (b) 그때 질점의 위치와 이동한 거리, (c) 그 순간 질점의 가속도, (d) t=4초부터 t=6초까지 질점이 이동한 거리를 각각 구하라.
풀이
질점의 위치에 대한 식이 주어졌기 때문에 우리는 그것을 미분하여 속도와 가속도에 대한 식을 구할 수 있다.
x=t3−6t2−15t+40
v=3t2−12t−15
a=6t−12
(a)
속도가 0이 되는 시간은 v=0일 때의 t를 구하면 된다.
v=3t2−12t−15=0
t=5s
우리는 위의 2차 방정식을 풀면 두 개의 근을 구할 수 있다. 하지만 시간은 음수가 될 수 없기 때문에 양수의 해를 구하면 된다.
(b)
속도가 0이 될 때 질점의 위치와 이동한 거리를 구하기 위해야 한다. 속도가 0이 될 때의 시간은 5초일 때이다. 따라서 위치 식에 t=5를 대입하면 된다.
x5=(5)3−6(5)2−15(5)+40=−60m
t=0일 때의 초기 위치는 x0=40m였다.
이동거리=x5−x0=−60m−40m=−100m
따라서 음의 방향으로 −100m만큼 이동했다.
(c)
속도가 0일 때의 가속도를 구하기 위해서는 가속도 식에 t=5를 대입하면 된다.
a5=6(5)−12=18m/s2
따라서 가속도는 18m/s2이다.
(d)
t=4s에서 t=6s까지 이동한 거리를 구하기 위해서는 단순히 x6−x4를 해서는 안 된다. 왜냐하면 중간에 속도의 방향이 바뀔 수 있기 때문이다.
실제로 여기에 나온 속도 그래프는 t=5s에서 방향이 바뀌게 된다. 즉, t=4s에서 t=5s까지는 음의 방향으로 이동하다가, t=5s에서 t=6s에서는 양의 방향으로 이동한다.
따라서 우리는 이것을 고려하여 계산해야 한다.
x5−x4=−60−(−52)=−8m
x6−x5=−50−(−60)=10m
∣−8∣+∣10∣=18
따라서 질점은 4초부터 5초까지는 음의 방향으로 8m, 5초부터 6초까지 양의 방향으로 10m를 이동하여 총 18m를 이동하였다. 하지만 만약 문제에서 해당 시간동한 변한 위치를 물어봤다면 양의 방향으로 2m를 움직였다고 답해야 한다.
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